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<!DOCTYPE html>

<title>Kurvenschar</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Kurvenschar</span></h1>

</header>

</div>

<p>Eine <b>Kurvenschar</b>, auch <b>Funktionenschar</b>, <b>Funktionsschar</b> oder <b>Parameterfunktion</b>, ist eine Menge verschiedener <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurven</a>, deren Abbildungsvorschriften sich in mindestens einem <a href="Parameter_(Mathematik)" title="Parameter (Mathematik)">Parameter</a> unterscheiden.

Sonderfälle sind das <i>Büschel</i>, eine einparametrige Schar, und das <i>Bündel</i>, eine Schar mit einem allen Funktionen gemeinsamen Punkt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Die Schar ist eine Menge von <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkten</a> auf einer Kurve, Kurven auf einer <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a> oder Flächen im <a href="Raum_(Mathematik)" title="Raum (Mathematik)">Raum</a>, die jeweils durch eine <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> oder ein System von Gleichungen mit veränderlichen Parametern beschrieben werden.

</p><p>Gemäß einer anderen <a href="Definition" title="Definition">Definition</a> ergibt sich eine Kurvenschar aus dem Graphen einer Funktion, in der ein freier Parameter der betreffenden Funktion in <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a> variiert wird.

</p><p>Zur Veranschaulichung von Funktionsscharen eignen sich besonders <a href="Dynamische_Geometrie" title="Dynamische Geometrie">dynamische-Geometrie</a>-Systeme.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sonderfälle"><span id="Sonderf.C3.A4lle"></span>Sonderfälle</h3></div>

<ul><li>Handelt es sich bei allen Schaubildern der Funktionsschar um <a href="Gerade_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Gerade (Geometrie)">Geraden</a>, so spricht man von einer <i>Geradenschar.</i>

<ul><li>Verlaufen dabei die einzelnen Geraden auch noch parallel, so bezeichnet man sie als Parallelenschar.</li>

<li>Wenn sich alle beteiligten Geraden in einem Punkt schneiden, handelt es sich um ein <a href="Geradenb%C3%BCndel_(Elementargeometrie)" title="Geradenbündel (Elementargeometrie)">Geradenbündel</a>.</li>

<li>Wenn sich alle beteiligten Geraden sowohl in einem Punkt schneiden als auch in einer <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> liegen, handelt es sich um ein <a href="Geradenb%C3%BCschel" title="Geradenbüschel">Geradenbüschel</a>.</li></ul></li></ul>

<ul><li>Handelt es sich bei allen Kurven der Schar um <a href="Parabel_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Parabel (Geometrie)">Parabeln</a>, so spricht man von einer <i>Parabelschar.</i></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<p>Für bestimmte Punkte einer Kurvenschar lässt sich oft eine <a href="Ortskurve_(Kurvendiskussion)" title="Ortskurve (Kurvendiskussion)">Ortskurve</a> bestimmen, d. h. eine neue Kurve, die die Lage dieser Punkte in Abhängigkeit der Parameter der Schar angibt (über alle Kurven der Schar).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>alle Kurven der zur Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\ f_{p}(x)=p}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ f_{p}(x)=p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edcfe010ce8dcef78a902d2868ff3f42bdeedce4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.387ex; width:10.186ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \!\ f_{p}(x)=p}" loading="lazy"></span> gehörigen Kurvenschar verlaufen parallel zur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span>-Achse (Geraden). Der Parameter dieser Kurvenschar ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span>.</li>

<li>alle Kurven der zur Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{a}(x)=ax^{2},\,a\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{a}(x)=ax^{2},\,a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f28bfeecba4ba322b5d3e6ea75c7e48ba8ce4ba7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.004ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{a}(x)=ax^{2},\,a\neq 0}" loading="lazy"></span> gehörigen Schar sind Parabeln durch den Koordinatenursprung (siehe Abbildung). Der Parameter ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span>.</li>

<li>alle Kurven der zur <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relation</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\ r^{2}=x^{2}+y^{2}\ \Leftrightarrow {}\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ r^{2}=x^{2}+y^{2}\ \Leftrightarrow {}\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3abdd499d515e0ca24fb843307a5758ccc1063f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; margin-left: -0.387ex; width:31.906ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \!\ r^{2}=x^{2}+y^{2}\ \Leftrightarrow {}\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}" loading="lazy"></span> gehörigen Schar sind <a href="Konzentrisch" class="mw-redirect" title="Konzentrisch">konzentrische</a> <a href="Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreise</a>. Der Parameter ist hier <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><i>Kurvenschar</i> In: <i>Schülerduden – Mathematik II</i>. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 241–242</li>

<li>Mark Ja. Vygodskij: <i>Höhere Mathematik griffbereit: Definitionen, Theoreme, Beispiele</i>. Springer 2013, ISBN 978-3-322-90113-2, S. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=7_-BBwAAQBAJ&pg=PA696">696</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/FamilyofCurves.html"><i>Family of Curves</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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